Orakel
11-10-04, 22:17
Ik heb al een getal
Arme Pirahã. Deze kleine Indianenstam uit het Amazoneregenwoud van Brazilië was onlangs in het nieuws als wereldkampioen ongecijferdheid. Onderzoek van de Amerikaanse psycholinguïst Peter Gordon heeft laten zien dat de Pirahã niet verder dan tot twee kunnen tellen. Een, twee. Dan stopt het. En toch: niets menselijks is hen vreemd.
Door Robbert Dijkgraaf
Gordon heeft geprobeerd de Pirahã aan het rekenen te zetten, maar zelfs de enige som die überhaupt betekenis voor hen zou kunnen hebben, 1+1=2, bleek een brug te ver. Genoeg was genoeg voor hen.
Ook in generaties wordt niet verder dan tot twee geteld. Geen Pirahã kent een overleden overgrootmoeder of overgrootvader bij naam. In deze wereld zonder getallen bestaat ook geen geschiedenis, zelfs geen scheppingsverhaal of sprookje. Alleen het hier en nu telt.
Mijn eerste reactie op deze berichten was een van licht ongeloof. Is dit een broodje-aapverhaal in wording? De Pirahã van de nieuwsberichten lijken zo weggelopen uit een vooroorlogse, politiek incorrecte aflevering van Kuifje. Een fanclub van de schrijver Jorge Luis Borges, die met een fictieve indianenstam in antropologische kringen zou willen infiltreren, kon moeilijk iets mooiers verzinnen.
Want het is toch slecht voorstelbaar dat je bijvoorbeeld vijf kinderen hebt, maar niet het verschil tussen vier, vijf of zes kent. Misschien kan als verzachtende omstandigheid worden aangevoerd dat bij de Pirahã veel kinderen na hun derde levensjaar gemeenschappelijk worden grootgebracht, terwijl hun ouders vaak scheiden, hertrouwen en daarbij ook van identiteit veranderen. Alle begrip daarom voor de Piraha die bij de vraag naar het aantal kinderen verzucht: Genoeg!
Maar serieus, hoe meer bizarre details over het leven van de Pirahã worden opgesomd, hoe dichterbij ze voor mij komen te staan. Niets menselijks lijkt hun vreemd. Wie van ons kent de volledige namen van alle acht overgrootouders, tenzij deze ingelijst aan de kasteelmuur hangen? Zo las ik ook dat de Piraha prachtige balsa speelgoedvliegtuigjes kunnen maken, maar dat alleen doen rond de dag dat een echt vliegtuig een bezoek aan de jungle brengt. Daarna verdwijnt alle creatieve aandrang. Kennen wij dit verschijnsel niet als goede voornemens? Zijn velen van ons niet alleen rond de Tour de France op de racefiets te vinden? Of stoppen alleen de eerste dagen van januari met roken?
Het is dan ook maar de vraag hoe superieur we ons aan deze Amazone-indianen mogen voelen. Op het internet zijn onderzoeksfilmpjes te vinden waarin de Pirahã al giechelend proberen patronen van vijf of zes tikken te reproduceren, allemaal met droevig weinig succes. Maar deze opnames komen onbehaaglijk dicht bij de bekende televisiebeelden waarin willekeurige voorbijgangers op straat staan te stuntelen om de eenvoudigste vragen te beantwoorden.
Nee, enig cultuurrelativisme is hier op zijn plaats. Ik kan niet de gedachte onderdrukken dat een superieure buitenaardse beschaving die net de planeet Aarde heeft ontdekt op dezelfde meesmuilende toon zou rapporteren over de primitieve stam der Mensen. Hoe ze verbaasd in hun wetenschapskatern zouden beschrijven dat wij nauwelijks een voorstelling kunnen maken bij een miljoen, een miljard of een triljoen. Dat onze cultuur geen naam kent voor het aantal sterren in de kosmos of het aantal watermoleculen in de oceaan. Dat die arme bewoners van de Lage Getallen Landen alle verschillende soorten oneindig helemaal niet uit elkaar weten te houden.
Want onze getallensymboliek is toch hopeloos provinciaals. Ze beperkt zich uitsluitend tot de kleine getallen, van de vier elementen tot de twaalf tekens van de dierenriem. Wie, behalve een wiskundige, krijgt een warm gevoel bij 196.883? Wat betekent het eigenlijk precies om miljardair te zijn? Is voor ons een miljard euro ook niet gewoon 'genoeg'?
Toch is een gevoel voor grote getallen wel degelijk te leren, zelfs op jonge leeftijd. Een emmer van het fijnste schelpenzand, dat je onderin vogelkooitjes strooit, bevat ongeveer een miljard zandkorreltjes. Zes emmertjes op een rij en je hebt de complete wereldbevolking voor je staan. Een ruim Chinees emmertje, een Indiaas emmertje, nauwelijks een Westers emmertje. Een speelgoedschepje zand voor alle Nederlanders, een zuinig theelepeltje voor de lezers van NRC Handelsblad. Is er iemand die voor al die zandkorreltjes, al die zes miljard mensen een verjaardagscadeautje kan kopen? Bij het schrijven van deze column was Bill Gates genoeg waard dat we allemaal iets kunnen uitzoeken van vier euro. Kijk, dat is nu een miljardair.
Als we iets van de indianenverhalen uit de Amazone kunnen leren, is het hoe sterk de afwezigheid van telwoorden de cultuur en gedachtewereld kleurt. Het leven van de Pirahã is zo ingericht dat niemand de getallen mist of de behoefte voelt iets te kwantificeren. Er wordt niets bewaard of onthouden. Ze hebben al een getal.
Dit bevestigt wat een enorme stap het geweest is dat we aan de Pirahã-cultuur zijn ontsnapt en de wereld van de getallen hebben ontdekt. Onderzoek laat zien dat mensen een aangeboren vaardigheid hebben om een intern beeld te vormen van één, twee of drie. Maar om daar voorbij te komen heb je de abstractie van de cijfers en de kracht van de wiskunde nodig. Het is onmogelijk om je aan je eigen veters omhoog te trekken uit het moeras van de ongecijferdheid.
Hoe lang heeft de mensheid niet geworsteld om 'nul' als volwaardig getal te accepteren. Een cruciale bijdrage van de Indiase wiskunde, die de enorme voordelen van de decimale notatie mogelijk maakte. Hebt u wel eens een staartdeling met Romeinse cijfers geprobeerd? Ik zag tot mijn plezier dat mijn zoontje in groep drie dit jaar de rekenles begon met het getal nul.
Op dezelfde wijze waren er eeuwenlang principiële bezwaren tegen negatieve getallen. Nu maken we dankbaar gebruik van aftrekposten bij onze belastingaangifte.
Het duurde zelfs tot de twintigste eeuw voordat de negatieve getallen in de natuurkunde hun volwaardige plaats vonden. De fysicus Paul Dirac merkte in 1927 op dat zijn formules niet alleen elektronen beschreven, maar ook raadselachtige deeltjes die alle eigenschappen van elektronen deelden, maar de omgekeerde lading hadden. Zo'n antideeltje of positron bleek niets anders dan een elektron dat er niet is, zeg maar min één elektron. Drie positronen vormen een tekort van drie elektronen op de winst- en verliesrekening van Moeder Natuur. Ook zij zit dus graag te plussen en te minnen.
Er is een mooie anekdote over een som die Dirac op de lagere school moest maken, die zijn briljante vondst van twintig jaar later voorspiegelde. (Je mag gerust meerekenen.)
Er waren drie vissers - misschien waren het wel gecijferde Pirahã. Ze hadden een berg vissen gevangen. Hoeveel? Genoeg! 's Nachts werd één van de vissers bang wakker en wilde er met zijn rechtmatig deel tussen uit gaan. Hij sloop naar de stapel, maar zag dat de buit niet eerlijk door drie te delen was. Dat lukte wel als hij één vis in de Amazone teruggooide. Vervolgens werd de tweede visser wakker. Ook hij moest eerst een vis weggooien voordat hij met een derde deel kon wegsluipen. Ten slotte herhaalde ook de derde visser deze handelingen. Vraag: wat is het kleinste aantal vissen waarvoor dit verhaal klopt?
De jonge Dirac antwoordde zonder haperen: Min twee.
Arme Pirahã. Deze kleine Indianenstam uit het Amazoneregenwoud van Brazilië was onlangs in het nieuws als wereldkampioen ongecijferdheid. Onderzoek van de Amerikaanse psycholinguïst Peter Gordon heeft laten zien dat de Pirahã niet verder dan tot twee kunnen tellen. Een, twee. Dan stopt het. En toch: niets menselijks is hen vreemd.
Door Robbert Dijkgraaf
Gordon heeft geprobeerd de Pirahã aan het rekenen te zetten, maar zelfs de enige som die überhaupt betekenis voor hen zou kunnen hebben, 1+1=2, bleek een brug te ver. Genoeg was genoeg voor hen.
Ook in generaties wordt niet verder dan tot twee geteld. Geen Pirahã kent een overleden overgrootmoeder of overgrootvader bij naam. In deze wereld zonder getallen bestaat ook geen geschiedenis, zelfs geen scheppingsverhaal of sprookje. Alleen het hier en nu telt.
Mijn eerste reactie op deze berichten was een van licht ongeloof. Is dit een broodje-aapverhaal in wording? De Pirahã van de nieuwsberichten lijken zo weggelopen uit een vooroorlogse, politiek incorrecte aflevering van Kuifje. Een fanclub van de schrijver Jorge Luis Borges, die met een fictieve indianenstam in antropologische kringen zou willen infiltreren, kon moeilijk iets mooiers verzinnen.
Want het is toch slecht voorstelbaar dat je bijvoorbeeld vijf kinderen hebt, maar niet het verschil tussen vier, vijf of zes kent. Misschien kan als verzachtende omstandigheid worden aangevoerd dat bij de Pirahã veel kinderen na hun derde levensjaar gemeenschappelijk worden grootgebracht, terwijl hun ouders vaak scheiden, hertrouwen en daarbij ook van identiteit veranderen. Alle begrip daarom voor de Piraha die bij de vraag naar het aantal kinderen verzucht: Genoeg!
Maar serieus, hoe meer bizarre details over het leven van de Pirahã worden opgesomd, hoe dichterbij ze voor mij komen te staan. Niets menselijks lijkt hun vreemd. Wie van ons kent de volledige namen van alle acht overgrootouders, tenzij deze ingelijst aan de kasteelmuur hangen? Zo las ik ook dat de Piraha prachtige balsa speelgoedvliegtuigjes kunnen maken, maar dat alleen doen rond de dag dat een echt vliegtuig een bezoek aan de jungle brengt. Daarna verdwijnt alle creatieve aandrang. Kennen wij dit verschijnsel niet als goede voornemens? Zijn velen van ons niet alleen rond de Tour de France op de racefiets te vinden? Of stoppen alleen de eerste dagen van januari met roken?
Het is dan ook maar de vraag hoe superieur we ons aan deze Amazone-indianen mogen voelen. Op het internet zijn onderzoeksfilmpjes te vinden waarin de Pirahã al giechelend proberen patronen van vijf of zes tikken te reproduceren, allemaal met droevig weinig succes. Maar deze opnames komen onbehaaglijk dicht bij de bekende televisiebeelden waarin willekeurige voorbijgangers op straat staan te stuntelen om de eenvoudigste vragen te beantwoorden.
Nee, enig cultuurrelativisme is hier op zijn plaats. Ik kan niet de gedachte onderdrukken dat een superieure buitenaardse beschaving die net de planeet Aarde heeft ontdekt op dezelfde meesmuilende toon zou rapporteren over de primitieve stam der Mensen. Hoe ze verbaasd in hun wetenschapskatern zouden beschrijven dat wij nauwelijks een voorstelling kunnen maken bij een miljoen, een miljard of een triljoen. Dat onze cultuur geen naam kent voor het aantal sterren in de kosmos of het aantal watermoleculen in de oceaan. Dat die arme bewoners van de Lage Getallen Landen alle verschillende soorten oneindig helemaal niet uit elkaar weten te houden.
Want onze getallensymboliek is toch hopeloos provinciaals. Ze beperkt zich uitsluitend tot de kleine getallen, van de vier elementen tot de twaalf tekens van de dierenriem. Wie, behalve een wiskundige, krijgt een warm gevoel bij 196.883? Wat betekent het eigenlijk precies om miljardair te zijn? Is voor ons een miljard euro ook niet gewoon 'genoeg'?
Toch is een gevoel voor grote getallen wel degelijk te leren, zelfs op jonge leeftijd. Een emmer van het fijnste schelpenzand, dat je onderin vogelkooitjes strooit, bevat ongeveer een miljard zandkorreltjes. Zes emmertjes op een rij en je hebt de complete wereldbevolking voor je staan. Een ruim Chinees emmertje, een Indiaas emmertje, nauwelijks een Westers emmertje. Een speelgoedschepje zand voor alle Nederlanders, een zuinig theelepeltje voor de lezers van NRC Handelsblad. Is er iemand die voor al die zandkorreltjes, al die zes miljard mensen een verjaardagscadeautje kan kopen? Bij het schrijven van deze column was Bill Gates genoeg waard dat we allemaal iets kunnen uitzoeken van vier euro. Kijk, dat is nu een miljardair.
Als we iets van de indianenverhalen uit de Amazone kunnen leren, is het hoe sterk de afwezigheid van telwoorden de cultuur en gedachtewereld kleurt. Het leven van de Pirahã is zo ingericht dat niemand de getallen mist of de behoefte voelt iets te kwantificeren. Er wordt niets bewaard of onthouden. Ze hebben al een getal.
Dit bevestigt wat een enorme stap het geweest is dat we aan de Pirahã-cultuur zijn ontsnapt en de wereld van de getallen hebben ontdekt. Onderzoek laat zien dat mensen een aangeboren vaardigheid hebben om een intern beeld te vormen van één, twee of drie. Maar om daar voorbij te komen heb je de abstractie van de cijfers en de kracht van de wiskunde nodig. Het is onmogelijk om je aan je eigen veters omhoog te trekken uit het moeras van de ongecijferdheid.
Hoe lang heeft de mensheid niet geworsteld om 'nul' als volwaardig getal te accepteren. Een cruciale bijdrage van de Indiase wiskunde, die de enorme voordelen van de decimale notatie mogelijk maakte. Hebt u wel eens een staartdeling met Romeinse cijfers geprobeerd? Ik zag tot mijn plezier dat mijn zoontje in groep drie dit jaar de rekenles begon met het getal nul.
Op dezelfde wijze waren er eeuwenlang principiële bezwaren tegen negatieve getallen. Nu maken we dankbaar gebruik van aftrekposten bij onze belastingaangifte.
Het duurde zelfs tot de twintigste eeuw voordat de negatieve getallen in de natuurkunde hun volwaardige plaats vonden. De fysicus Paul Dirac merkte in 1927 op dat zijn formules niet alleen elektronen beschreven, maar ook raadselachtige deeltjes die alle eigenschappen van elektronen deelden, maar de omgekeerde lading hadden. Zo'n antideeltje of positron bleek niets anders dan een elektron dat er niet is, zeg maar min één elektron. Drie positronen vormen een tekort van drie elektronen op de winst- en verliesrekening van Moeder Natuur. Ook zij zit dus graag te plussen en te minnen.
Er is een mooie anekdote over een som die Dirac op de lagere school moest maken, die zijn briljante vondst van twintig jaar later voorspiegelde. (Je mag gerust meerekenen.)
Er waren drie vissers - misschien waren het wel gecijferde Pirahã. Ze hadden een berg vissen gevangen. Hoeveel? Genoeg! 's Nachts werd één van de vissers bang wakker en wilde er met zijn rechtmatig deel tussen uit gaan. Hij sloop naar de stapel, maar zag dat de buit niet eerlijk door drie te delen was. Dat lukte wel als hij één vis in de Amazone teruggooide. Vervolgens werd de tweede visser wakker. Ook hij moest eerst een vis weggooien voordat hij met een derde deel kon wegsluipen. Ten slotte herhaalde ook de derde visser deze handelingen. Vraag: wat is het kleinste aantal vissen waarvoor dit verhaal klopt?
De jonge Dirac antwoordde zonder haperen: Min twee.